Question

已知命題p：方程x²+ax-2a²=0在（-1，1）上有解；命題q：函數f（x）=log_a（x²-2ax+2）在[2，3]上單調遞增，若命題“p∨q”是真命題，“p∧q”是假命題，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：復合命題的真假

專題：函數的性質及應用,不等式的解法及應用

分析：若p正確：方程x²+ax-2a²=0的解為2a或-a．若方程在（-1，1）上有解，只需滿足-1＜2a＜1或-1＜-a＜1． 若q正確：則

a＞1 a 2 ≤2 4-2a+2＞0

或

0＜a＜1 a 2 ≥3 9-6a+2＞0

，即可解得．命題“p∨q”是真命題，“p∧q”是假命題，可得命題p與q必然一真一假．

解答： 解：若p正確：方程x²+ax-2a²=0的解為2a或-a．
若方程在（-1，1）上有解，只需滿足-1＜2a＜1或-1＜-a＜1． 即-1＜a＜1．
若q正確：則

a＞1 a 2 ≤2 4-2a+2＞0

或

0＜a＜1 a 2 ≥3 9-6a+2＞0

，解得1＜a＜

3

2

．
∵命題“p∨q”是真命題，“p∧q”是假命題，
∴命題p與q必然一真一假．
若p真q假，則

-1＜a＜1 a≤1或a≥ 3 2

，∴-1＜a＜1．
若p假q真，有

a≤-1或a≥1 1＜a＜ 3 2

，解得1＜a＜

3

2

．
∴a的取值范圍是-1＜a＜1或1＜a＜

3

2

．

點評：本題考查了對數函數的單調性、復合函數的單調性、二次函數與x軸的交點的情況、復合命題的真假判斷，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．