Question

設數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=2-

1

2n-1

，
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設T_n=log₂a₁+log₂a₂+…+log₂a_n，求證：

1

T1

+

1

T2

+…+

1

Tn

＞-2（n∈N^*，n≥2）

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合

專題：計算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）依題意，根據(jù)根據(jù)S_n-S_n-1=a_n，可得數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設b_n=log₂a_n，可求b_n=n，從而可求T_n=log₂a₁+log₂a₂+…+log₂a_n．

解答： 解：（1）當n=1時，a₁=S₁=1．…（2分）
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=

1

2n-1

，此式對n=1也成立．
∴a_n=

1

2n-1

．…（5分）
（2）證明：設b_n=log₂a_n，則b_n=1-n．…（7分）
∴{b_n}是首項為0，公差為-1的等差數(shù)列．　
∴T_n=-

n(n-1)

2

　…（10分）
∴

1

T1

+

1

T2

+…+

1

Tn

=-2（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n-1

-

1

n

）=-2（1-

1

n

）＞-2…（12分）

點評：本題考查數(shù)列的求和，著重考查等比數(shù)列的通項公式與等差數(shù)列的求和公式，屬于中檔題．