Question

【題目】已知等比數列的公比，前項和為，且滿足.，，分別是一個等差數列的第1項，第2項，第5項.

（1）求數列的通項公式；

（2）設，求數列的前項和；

（3）若，的前項和為，且對任意的滿足，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) . (2) ；(3)

【解析】

（1）利用等比數列通項公式以及求和公式化簡，得到，由，，分別是一個等差數列的第1項，第2項，第5項，利用等差數列的定義可得，化簡即可求出，從而得到數列的通項公式。

（2）由（1）可得，利用錯位相減，求出數列的前項和即可；

（3）結合（1）可得，利用裂項相消法，即可得到的前項和，求出的最大值，即可解得實數的取值范圍

（1）由得，所以，

由，，分別是一個等差數列的第1項，第2項，第5項，

得，

即，

即，即，

因為，所以，所以.

（2）由于，所以，

所以，

，

兩式相減得，，

所以

（3）由知，

∴

，

∴，

解得或.

即實數的取值范圍是