Question

【題目】數列{an}滿足a1= ，an+1﹣1=an（an﹣1）（n∈N*）且Sn= + +…+ ，則Sn的整數部分的所有可能值構成的集合是（ ）
A.{0，1，2}
B.{0，1，2，3}
C.{1，2}
D.{0，2}

Answer 1

【答案】A
【解析】解：∵數列{an}滿足a1= ，an+1﹣1=an（an﹣1）（n∈N*）．
可得：an+1﹣an= ＞0，∴an+1＞an ， 因此數列{an}單調遞增．
則a2﹣1= ，可得a2= ，同理可得：a3= ，a4= ．
= ＞1， = ＜1，
另一方面： = ﹣ ，
∴Sn= + +…+ = + +…+ = ﹣ =3﹣ ，
當n=1時，S1= = ，其整數部分為0；
當n=2時，S2= + =1+ ，其整數部分為1；
當n=3時，S3= + + =2+ ，其整數部分為2；
當n≥4時，Sn=2+1﹣ ∈（2，3），其整數部分為2．
綜上可得：Sn的整數部分的所有可能值構成的集合是{0，1，2}．
故選：A．
【考點精析】利用數列的通項公式對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式．