Question

【題目】如圖，在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中， ，點P為線段A1C上的動點（包含線段端點），則下列結論正確的 ． ①當 時，D1P∥平面BDC1；
②當 時，A1C⊥平面D1AP；
③當∠APD1的最大值為90°；
④AP+PD1的最小值為 ．

Answer 1

【答案】①②
【解析】解：如圖，以D為原點建立空間直角坐標系，設AA1=1，則AD=1，AB= ，設 ；（λ≥1） 則A（1，0，0），C（0， ，0），A1（1，0，1），D1（0，0，1），C1（0， ，1），B（1， ，0）
， ，
對于①，設平面DBC1的法向量為
由 可得

若D1P∥平面BDC1 ， 則 ，解得λ=3，故①正確．
對于②，若A1C⊥平面D1AP，則 ，解得λ=5，故②正確；
對于③， ＜0 （λ≥1）有解，故∠APD1可以大于900 ． 所以③錯；
對于④，∵ =0時，λ=2，此時AP+PD1= ，
當λ＞2時，∠APD1為鈍角此時AP+PD1小于 ，故④錯
綜上，所以答案是：①②．

【考點精析】通過靈活運用命題的真假判斷與應用，掌握兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關系即可以解答此題．