Question

【題目】已知函數f（x）= + ．
（1）求f（x）≥f（4）的解集；
（2）設函數g（x）=k（x﹣3），k∈R，若f（x）＞g（x）對任意的x∈R都成立，求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函數f（x）= + = + =|x﹣3|+|x+4|，

∴f（x）≥f（4）即|x﹣3|+|x+4|≥9．

∴① ，或② ，或③ ．

得不等式①：x≤﹣5；

解②可得x無解；

解③求得：x≥4．

所以f（x）≥f（4）的解集為{x|x≤﹣5，或x≥4}

（2）解：f（x）＞g（x）對任意的x∈R都成立，即f（x）的圖象恒在g（x）圖象的上方，

∵f（x）=|x﹣3|+|x+4|= ．

由于函數g（x）=k（x﹣3）的圖象為恒過定點P（3，0），且斜率k變化的一條直線，

作函數y=f（x）和 y=g（x）的圖象如圖，其中，KPB=2，A（﹣4，7），

∴KPA=﹣1．

由圖可知，要使得f（x）的圖象恒在g（x）圖象的上方，

∴實數k的取值范圍為（﹣1，2]．

【解析】（1）函數f（x）=|x﹣3|+|x+4|，不等式 f（x）≥f（4）即|x﹣3|+|x+4|≥9．可得① ，或② ，或③ ．分別求得①、②、③的解集，再取并集，即得所求．（2）由題意可得，f（x）的圖象恒在g（x）圖象的上方，作函數y=f（x）和 y=g（x）的圖象如圖，由KPB=2，A（﹣4，7），可得 KPA=﹣1，數形結合求得實數k的取值范圍．