Question

【題目】已知橢圓 ，離心率 ，它的長軸長等于圓x2+y2﹣2x+4y﹣3=0的直徑．
（1）求橢圓 C的方程；
（2）若過點 的直線l交橢圓C于A，B兩點，是否存在定點Q，使得以AB為直徑的圓經過這個定點，若存在，求出定點Q的坐標；若不存在，請說明理由？

Answer 1

【答案】
（1）

解：圓方程x2+y2﹣2x+4y﹣3=0化為（x﹣1）2+（y+2）2=8，則圓的直徑為 ，∴ ，

由 得：c=2，b2=a2﹣c2=8﹣4=4，

以橢圓C的方程：

（2）

解：過點 作斜率為0和斜率不存在的直線l交橢圓C的兩個交點為直徑的圓分別為 和x2+y2=4，這兩個圓的交點為（0，2）．

所以猜想存在點Q（0，2），使得以 AB為直徑的圓經過這個定點．

設直線 AB的方程為 ，與橢圓 ，

聯立方程組得： ，

設交點A（x1，y1），B（x2，y2）得， ，

則

= ，

所以 ，

即以 AB為直徑的圓經過這個定點Q（0，2）

【解析】（1）求出圓的直徑為 ，推出a，由離心率求解c，然后求解橢圓C的方程．（2）猜想存在點Q（0，2），使得以 AB為直徑的圓經過這個定點．設直線 AB的方程為 ，與橢圓 ，聯立方程組得： ，設交點A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），利用韋達定理，向量的數量積轉化求解即可．