Question

已知橢圓C的兩個焦點是F₁（-

2

，0），F₂（

2

，0），點B（

2

，

3

3

）在橢圓C上．
（1）求橢圓C的方程；
（2）橢圓C的下頂點為A，直線y=kx+m（k≠0，m≠0）與橢圓C交于不同兩點M，N，當|

AM

|=|

AN

|時，求m的取值范圍．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）設出橢圓方程，利用橢圓C的兩個焦點是F₁（-

2

，0），F₂（

2

，0），點B（

2

，

3

3

）在橢圓C上，確定幾何量，從而可得橢圓的方程；
（2）設P為弦MN的中點，直線與橢圓方程聯立得（3k²+1）x²+6mkx+3（m²-1）=0，由于直線與橢圓有兩個交點，可得m²＜3k²+1，|AM|=||AN|，可得AP⊥MN，由此可推導出m的取值范圍．

解答： 解：（1）設橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
由已知，c=

2

，即a²-b²=2．
由定義|BF₁|+|BF₂|=2a，得a=

3

，∴b=1．
故橢圓C的方程

x2

3

+y2=1．
（2）設P（x_P，y_P）、M（x_M，y_M）、N（x_N，y_N），P為弦MN的中點，
直線y=kx+m與橢圓方程聯立，消去y可得（3k²+1）x²+6mkx+3（m²-1）=0，
∵直線與橢圓相交，∴△=（6mk）²-12（3k²+1）（m²-1）＞0，∴m²＜3k²+1，①
由韋達定理，可得P（

-3km

1+3k2

，

m

1+3k2

）
∵|AM|=|AN|，∴AP⊥MN，
∴-

m+3k2+1

3mk

=-

1

k

，即2m=3k²+1②
把②代入①得2m＞m²解得0＜m＜2
∵2m=3k²+1＞1，∴m＞

1

2

∴

1

2

＜m＜2．

點評：本題考查橢圓的方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查學生的計算能力，屬于中檔題．