Question

已知M（0，

3

），N（0，-

3

），G（x，y），直線MG與NG的斜率之積等于-

3

4

．
（Ⅰ）求點G的軌跡Γ的方程；
（Ⅱ）過點P（0，3）作一條與軌跡Γ相交的直線l．設交點為A，B．若點A，B均位于y軸的右側，且

BA

=

AP

，請求出x軸上滿足|QP|=|QB|的點Q的坐標．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由直線MG與NG的斜率之積等于-

3

4

，得

y- 3

x

•

y+ 3

x

=-

3

4

，由此能求出得點G的軌跡Γ的方程．
（Ⅱ）設直線l的方程為y=kx+3，聯立方程組

y=kx+3 3x2+4y2=12

，得（4k²+3）x²+24kx+24=0，由此利用韋達定理結合已知條件能求出點Q的坐標．

解答： 解：（Ⅰ）∵M（0，

3

），N（0，-

3

），G（x，y），
∴kMG=

y- 3

x

，kNG=

y+ 3

x

，x≠0，
∵直線MG與NG的斜率之積等于-

3

4

，
∴

y- 3

x

•

y+ 3

x

=-

3

4

，x≠0，
化簡，得點G的軌跡Γ的方程為：

x2

4

+

y2

3

=1．（x≠0）
（Ⅱ）設直線l的方程為y=kx+3，k＜0
A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），（x₁＞0，x₂＞0），
∵

BA

=

AP

，P（0，3），∴x₂=2x₁，①
聯立方程組

y=kx+3 3x2+4y2=12

，得（4k²+3）x²+24kx+24=0，（*）
∴x1+x2=

-24k

4k2+3

，②，x1x2=

24

4k2+3

，③
由①得x1x2=

2

9

(x1+x2)2，又由②③得(

-8k

4k2+3

)2=

12

4k2+3

，
∴k2=

9

4

，k=±

3

2

，
∵x₁＞0，x₂＞0，∴x1+x2=

-24k

4k2+3

＞0，
k＜0，∴k=-

3

2

，
當k=-

3

2

時，方程（*）化為x²-3x+2=0，
解得x₁=1，x₂=2，∴B（2，0），A（1，

3

2

），
設Q（m，0），∵|QP|=|QB|，∴m²+9=（m-2）²，解得m=-

5

4

，
∴Q（-

5

4

，0）．

點評：本題考查軌跡方程的求法，考查點的坐標的求法，解題時要認真審題，注意函數與方程思想的合理運用．