Question

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ABC=90°，AB=BC=AA₁=2，M，N分別是A₁C₁，BC₁的中點．
（1）求證：MN∥平面A₁ABB₁；
（2）求多面體M-B₁C₁B的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面平行的判定

專題：計算題,空間位置關系與距離

分析：（1）利用線面平行的判定，MN∥A₁B，）∴MN∥平面A₁ABB₁；
（2）等積轉化，VM-B1C1B=VB-B1C1M=

1

3

BB1•S△B1C1M．

解答： （本小題滿分12分）
（1）證：連接A₁B，由M，N分別是A₁C₁，BC₁的中點
．∴MN∥A₁B…（3分）A₁B

? ≠

平面A₁ABB₁，MN?平面A₁ABB₁，…（5分）∴MN∥平面A₁ABB₁…（6分）
（2）三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，∴BB₁⊥A₁B₁C₁，…（8分）
又M是A₁C₁的中點．…（9分）
∴VM-B1C1B=VB-B1C1M=

1

3

BB1•S△B1C1M…（10分）
=

1

3

BB1•

1

2

S△A1B1C1=

1

6

×2×

1

2

×2×2=

2

3

…（12分）

點評：本題考查線面平行，三棱錐的體積，考查空間想象能力和運算能力．