Question

設函數g（x）=3^x，h（x）=9^x．
（1）解方程：x+log₃（2g（x）-8）=log₃（h（x）+9）；
（2）令p（x）=

g(x)

g(x)+ 3

，q（x）=

3

h(x)+3

，求證：p（

1

2014

）+p（

2

2014

）+…+p（

2012

2014

）+p（

2013

2014

）=q（

1

2014

）+q（

2

2014

）+…+q（

2012

2014

）+q（

2013

2014

）
（3）若f（x）=

g(x+1)+a

g(x)+b

是實數集R上的奇函數，且f（h（x）-1）+f（2-k•g（x））＞0對任意實數x恒成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

考點：對數函數圖象與性質的綜合應用

專題：函數的性質及應用

分析：（1）通過觀察方程式，很自然的把方程左邊變成log33x(2g(x)-8)，這時候就可以把方程中的對數符號去掉了，下面的求解就比較簡單了．
（2）通過觀察要證的等式，發現等式一邊首尾的兩個自變量值和為1，比如

1

2014

+

2013

2014

=1，這時候思考，對應函數值的和是否能于1呢，帶入函數式證明是可以的，所以就能夠分別求出等式左右的和了，和一樣即可．
（3）根據函數是奇函數，便能求出a，b．通過觀察不等式f（h（x）-1）+f（2-k•g（x））＞0便容易想到，看能不能用上函數f（x）的單調性，并能說明該函數是單調遞增的，不等式f（h（x）-1）+f（2-k•g（x））＞0可以變成，f（h（x）-1）＞-f（2-k•g（x）），再根據奇偶性，變成f（h（x）-1）＞f（k•g（x）-2），這時候就可以用上函數f（x）的單調性，下面對a的范圍的求解就比較簡單了．

解答： 解：（1）將g（x），h（x）帶入方程得：
x+log3(2•3x-8)=log3(9x+9)，∵x=log33x；
∴log33x(2•3x-8)=log3(9x+9)；
∴3^x（2•3^x-8）=（3^x）²+9，化簡得：（3^x+1）（3^x-9）=0；
∴x=2．
（2）p(x)=

3x

3x+ 3

，q(x)=

3

9x+3

；
∴p(

1007

2014

)=p(

1

2

)=

3

2 3

=

1

2

，q(

1007

2014

)=q(

1

2

)=

3

6

=

1

2

；
∵p（x）+p（1-x）=

3x

3x+ 3

+

31-x

3x+ 3

=

3x

3x+ 3

+

3

3x+ 3

=1；
q(x)+q(1-x)=

9x

9x+3

+

91-x

91-x+3

=

9x

9x+3

+

3

9x+3

=1；
∴p(

1

2014

)+p(

2

2014

)+…+p(

2012

2014

)+p(

2013

2014

)=1006+

1

2

；
q(

1

2014

)+q(

2

2014

)+…+q(

2012

2014

)+q(

2013

2014

)=1006+

1

2

．
∴原等式成立．
（3）因為f（x）是實數集上的奇函數，所以a=-3，b=1．
∴f(x)=

3x+1-3

3x+1

=3-

6

3x+1

，f（x）在實數集上單調遞增．
由f（h（x）-1）+f（2-k•g（x））＞0得f（h（x）-1）＞-f（2-k•g（x）），又因為f（x）是實數集上的奇函數，所以，f（h（x）-1）＞f（k•g（x）-2），
又因為f（x）在實數集上單調遞增，所以h（x）-1＞k•g（x）-2
即3^2x-1＞k•3^x-2對任意的x∈R都成立，
即k＜

32x+1

3x

=3x+

1

3x

對任意的x∈R都成立，
∵3x+

1

3x

≥2，∴k＜2．

點評：方程中含對數符號，應該想到把對數符號去掉．第二問通過觀察要證的等式能發現一邊的式子中的首尾項的自變量值為1，并猜想對應函數值是否為1，并去求出這兩項的和為1．第三問首先能求出a，b，然后能判斷函數的單調性，比較關鍵的是將f（h（x）-1）+f（2-k•g（x））＞0變成f（h（x）-1）＞f（k•g（x）-2）．