Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

3

=1（a＞

10

）的右焦點(diǎn)F在圓D：（x-2）²+y²=1上，直線l：x=my+3（m≠0）交橢圓于M，N兩點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若OM⊥ON（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求m的值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（I）已知及圓與x軸的交點(diǎn)即可得到橢圓的焦點(diǎn)，進(jìn)而得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（II）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．把直線方程與橢圓的方程聯(lián)立得到關(guān)于y的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系能求出m的值．

解答： 解：（1）圓D：（x-2）²+y²=1的圓心（2，0），半徑r=1．
令y=0，得（x-2）²=1，解得x=3或1．
∴橢圓的半焦距c=3或1，但是當(dāng)c=1時(shí)，a=

3+1

＜

10

，故舍去．
∴c=3，a²=b²+c²=3+3²=12．
故橢圓的方程為

x2

12

+

y2

3

=1．
（2）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
聯(lián)立

x=my+3 x2 12 + y2 3 =1

，得（m²+4）y²+6my-3=0，
∴y1+y2=-

6m

m2+4

，y1y2=-

3

m2+4

．
∴x1x2=m2y1y2+3m(y1+y2)+9
=

-3m2

m2+4

+

-18m2

m2+4

+9
=

36-12m2

m2+4

．
∵

OM

⊥

ON

，∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∴

36-12m2-3

m2+4

=0
解得m=±

11

2

．

點(diǎn)評：本題綜合考查了：橢圓與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，把直線方程與橢圓的方程聯(lián)立得到關(guān)于y的一元二次方程得到根與系數(shù)的關(guān)系，三角形的面積計(jì)算公式，基本不等式的性質(zhì)等．需要較強(qiáng)的推理能力和計(jì)算能力．