Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，PB⊥底面ABCD，CD⊥PD，底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB=AD=PB=3，點E在棱PA上，且PE=2EA．
（1）求BC的長；
（2）求異面直線PA與CD所成的角；
（3）求二面角A-BE-D的余弦值．

Answer 1

考點：與二面角有關的立體幾何綜合題,異面直線及其所成的角

專題：空間角

分析：（1）以B為原點，BC、BA、BP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系B-xyz．利用向量法能求出BC的長．
（2）由（1）知C（6，0，0），由此利用向量法能求出異面直線PA與CD所成的角的大小．
（3）分別求出平面BED的法向量和平面ABE的法向量，由此能求出二面角A-BE-D的余弦值．

解答： 解：（1）以B為原點，BC、BA、BP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，
建立空間直角坐標系B-xyz．設BC=a，
則A（0，3，0），P（0，0，3），D（3，3，0），C（a，0，0），

CD

=(3-a，3，0)，

PD

=(3，3，-3)．
∵CD⊥PD，∴

CD

•

PD

=3(3-a)+9=0，
解得a=6，∴C（6，0，0）．∴BC=6．
（2）由（1）知C（6，0，0），∴

CD

=(-3，3，0)，

PA

=(0，3，-3)，
∴cos＜

PA

，

CD

＞=

9

3 2 ×3 2

=

1

2

，
∴異面直線PA與CD所成的角等于60°．
（3）設平面BED的法向量

n

=(x，y，z)，
∵PE=2EA，∴E（0，2，1），

BE

=(0，2，1)，

BD

=(3，3，0)，
由

n • BE =0 n • BD =0

，得

2y+z=0 3x+3y=0

，取x=1，得

n

=(1，-1，2)．
又∵平面ABE的法向量

m

=(1，0，0)，
∴cos＜

n

，

m

＞=

1

6

=

6

6

，
∴二面角A-BE-D的余弦值為

6

6

．

點評：本題考查線段長的求法，考查異面直線所成的角的求法，考查二面角的余弦值的求法，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．