Question

已知函數(shù)f（x）=alnx-ax-3（a∈R）．
（1）若a=-1，求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；
（2）若函數(shù)y=f（x）的圖象在點（2，f（2））處的切線的傾斜角為45°，對于任意的t∈[1，2]，函數(shù)g（x）=x³+x²[f′（x）+

m

2

]（f′（x）是f（x）的導數(shù)）在區(qū)間（t，3）上總不是單調函數(shù)，求m的取值范圍；
（3）求證：

ln2

2

×

ln3

3

×

ln4

4

×…×

lnn

n

＜

1

n

（n≥2，n∈N^*）．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）a=-1時，f′(x)=-

1

x

+1，由此能求出f（x）的單調增區(qū)間和單調減區(qū)間．
（2）由f′(x)=

a

x

-a，（2，f（2））點切線傾斜角為45°，求出f'（x）=-

2

x

+2，由此能求出m的取值范
（3）構造函數(shù)f（x）=x-ln（x+1），x＞1，由導數(shù)性質求出當n≥2，n＞ln（n+1），由此能證明

ln2

2

×

ln3

3

×

ln4

4

×…×

lnn

n

＜

1

n

（n≥2，n∈N^*）．

解答： （1）解：a=-1時，f（x）=-lnx+x-3，
∴x＞0，f′(x)=-

1

x

+1，
由f′(x)=-

1

x

+1=0，得x=1．
x＞1時，f′（x）＞0；0＜x＜1時，f′（x）＜0．
∴f（x）的單調增區(qū)間為（1，+∞），單調減區(qū)間為（0，1）．
（2）解：∵f（x）=alnx-ax-3，∴f′(x)=

a

x

-a，
∵（2，f（2））點切線傾斜角為45°，
∴f'（2）=1，即

a

2

-2=1，則a=-2，f'（x）=-

2

x

+2，
則g（x）=x³+x²（-

2

x

+2+

m

2

）=x³+（2+

m

2

）x²-2x，
g'（x）=3x²+（4+m）x-2，
∵函數(shù)不單調，也就是說在（t，3）范圍內，g'（x）=0有解，
∵g'（0）=-2＜0，∴當且僅當g'（t）＜0且g'（3）＞0時方程有解，
∴3t²+（4+m）t-2＜0且3×3²-3（4+m）-2＞0，
解得-

37

3

＜m＜

2

t

-3t-4，又∵t∈[1，2]，
∴-

37

3

＜m＜-9，
∴m的取值范圍（-

37

3

，-9）．
（3）證明：先證明當n≥2，n∈Z時，n＞lnn
構造函數(shù)f（x）=x-ln（x+1），x＞1
則f′（x）=1-

1

x+1

=

x

x+1

，
∵x＞1，∴f′（x）＞0，
∴f（x）＞f（1）=1-ln（1+1）＞0
∴當n≥2，n∈N^*時，n＞ln（n+1），
∴

ln2

2

＜

ln2

ln3

，

ln3

3

＜

ln3

ln4

，…，

ln(n-1)

n-1

＜

ln(n-1)

lnn

，

lnn

n

＜

lnn

ln(n+1)

，
∴

ln2

2

×

ln3

3

×

ln4

4

×…×

lnn

n

＜

ln2

ln3

×

ln3

ln4

×

ln4

ln5

×…×

lnn

ln(n+1)

=

ln2

ln(n+1)

＜

1

n

．

點評：本題考查函數(shù)的單調區(qū)間的求法，考查實數(shù)的取值范圍的求法，考查不等式的證明，解題時要認真審題，注意導數(shù)性質和構造法的合理運用．