Question

在三棱柱ABCA₁B₁C₁中，棱AA₁與底面ABC垂直，△ABC為等腰直角三角形，AB=AC=AA₁，D，E，F分別為B₁A，C₁C，BC的中點．
（1）求證：DE∥平面ABC；
（2）求證：平面AB₁F⊥平面AEF．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：證明題,空間位置關系與距離

分析：（1）證明四邊形DECG是平行四邊形，可得DE∥GC，即可證明DE∥平面ABC；
（2）證明平面AB₁F⊥平面AEF，只需證明B₁F⊥平面AEF即可．

解答： 證明：（1）取AB的中點為G，連接DG，GC．
∵D是AB₁的中點，∴DG∥BB₁，且DG=

1

2

BB₁，
又∵BB₁∥CC₁，CE=

1

2

CC₁，
∴DG∥CE且DG=CE，
∴四邊形DECG是平行四邊形，
∴DE∥GC，
又∵DE?平面ABC，GC?平面ABC，
∴DE∥平面ABC．
（2）∵△ABC為等腰直角三角形，F為BC的中點，∴BC⊥AF，
由題意知，B₁B⊥平面ABC，∴B₁B⊥AF，
又∵B₁B∩BC=B，
∴AF⊥平面B₁BF，
∴AF⊥B₁F，
設AB=AA₁=2，則B₁F=

6

，EF=

3

，B₁E=3，
故B₁E²=B₁F²+EF²，∴B₁F⊥EF，
又∵AF∩EF=F，
∴B₁F⊥平面AEF，
又∵B₁F?平面AB₁F，∴平面AB₁F⊥平面AEF．

點評：本題考查平面與平面垂直的判定、直線與平面平行的判定，考查學生分析解決問題的能力，正確運用平面與平面垂直、直線與平面平行的判定定理是關鍵．