已知橢圓
過點
，且離心率
。
（Ⅰ）求橢圓
的標準方程；
（Ⅱ）若直線
與橢圓相交于
，
兩點（
不是左右頂點），橢圓的右頂點為D，且滿足
，試判斷直線
是否過定點，若過定點，求出該定點的坐標；若不過定點，請說明理由。
(1)
;(2)
解析試題分析：(1)本小題通過待定系數法列出兩個關于
的方程.通過解方程組求出橢圓方程.包含著二次方的運算需掌握.(2)本小題是直線與橢圓的位置關系的問題.這類題目的常用思路就是聯立直線方程和橢圓方程通過消元得到一個二次方程，確定判別式的情況.正確書寫利用韋達定理.，兩點（不是左右頂點），橢圓的右頂點為D，且滿足，D點不是左右定點要關注.根據向量的數量積為零.可得到關于兩個根的等式.再利用韋達定理即可得關于m,k的等式.從而就可得相應的結論.
試題解析：（Ⅰ）由題意橢圓的離心率。
∴橢圓方程為
2分
又點在橢圓上
∴橢圓的方程為 4分
(II)設
，由
得
，
，
.
所以
，又橢圓的右頂點
，
，
，
，解得
，且滿足.
當
時，
，直線過定點
與已知矛盾；
當
時，
，直線過定點
綜上可知，直線過定點，定點坐標為
考點：1.直線與圓的位置關系.2.韋達定理3.向量積的問題.4.過定點的問題.5.直線與橢圓的綜合問題.
開心蛙狀元測試卷系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
（13分）點P為圓
上一個動點，M為點P在y軸上的投影，動點Q滿足
．
（1）求動點Q的軌跡C的方程；
（2）一條直線l過點
，交曲線C于A、B兩點，且A、B同在以點D（0，1）為圓心的圓上，求直線l的方程。
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知拋物線的頂點在坐標原點，焦點為
，點
是點
關于
軸的對稱點，過點的直線交拋物線于
兩點。
（Ⅰ）試問在
軸上是否存在不同于點的一點
，使得
與軸所在的直線所成的銳角相等，若存在，求出定點的坐標，若不存在說明理由。
（Ⅱ）若
的面積為
，求向量
的夾角；
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知曲線
上任意一點
到直線
的距離是它到點
距離的
倍；曲線
是以原點為頂點，
為焦點的拋物線.
(Ⅰ)求,的方程；
(Ⅱ)過作兩條互相垂直的直線
,其中
與相交于點
,
與相交于點
,求四邊形
面積的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知雙曲線
，
、
是雙曲線的左右頂點，
是雙曲線上除兩頂點外的一點，直線
與直線
的斜率之積是
，
求雙曲線的離心率；
若該雙曲線的焦點到漸近線的距離是
，求雙曲線的方程.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知拋物線
與橢圓
有公共焦點
，且橢圓過點
.
（1）求橢圓方程；
（2）點
、
是橢圓的上下頂點，點
為右頂點，記過點、、的圓為⊙
，過點作⊙ 的切線
，求直線的方程；
（3）過橢圓的上頂點作互相垂直的兩條直線分別交橢圓于另外一點
、
，試問直線
是否經過定點，若是，求出定點坐標；若不是，說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
在直角坐標系中，
為坐標原點，如果一個橢圓經過點P(3,
),且以點F(2,0)為它的一個焦點.
（1）求此橢圓的標準方程；
（2）在（1）中求過點F(2,0)的弦AB的中點M的軌跡方程.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，已知橢圓
：
的離心率為
，以橢圓的左頂點
為圓心作圓：
，設圓與橢圓交于點
與點
．(12分)
（1）求橢圓的方程；（3分）
（2）求
的最小值，并求此時圓的方程；（4分）
（3）設點
是橢圓上異于,的任意一點，且直線
分別與
軸交于點
，
為坐標原點，求證：
為定值．（5分）
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
在平面直角坐標系
中，直線l與拋物線
相交于不同的兩點A，B.
（I）如果直線l過拋物線的焦點，求
的值；
（II）如果
，證明直線l必過一定點，并求出該定點坐標．
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