已知曲線
上任意一點
到直線
的距離是它到點
距離的
倍；曲線
是以原點為頂點，
為焦點的拋物線.
(Ⅰ)求,的方程；
(Ⅱ)過作兩條互相垂直的直線
,其中
與相交于點
,
與相交于點
,求四邊形
面積的取值范圍.
(Ⅰ)
,
；(Ⅱ)
.
解析試題分析：(Ⅰ)求 曲線，則設該曲線上某點
，然后根據題目條件，得到關于
的方程，再化簡即可得到.曲線可以根據拋物線的幾何性質得到，為拋物線焦點，從而得到；(Ⅱ)用點斜式設出的方程為
，與拋物線方程聯立，即可得到關于點坐標的方程.再根據韋達定理即得到
的長度.由題意可設的方程為
,代入可得關于點坐標的方程.再根據韋達定理即得到
的長度.因為
，從而四邊形的面積為
，經化簡，通過基本不等式即可得到四邊形面積的取值范圍為.
試題解析：(Ⅰ)設，則由題意有
,化簡得:.
故的方程為，易知的方程為. 4分
(Ⅱ)由題意可設的方程為,代入得
,
設
,則
,
所以
. 7分
因為
,故可設的方程為,代入得
,設
,則
,
所以
. 10分
故四邊形的面積為
(
)
設
，因此
,當且僅當
即
等號成立.
故四邊形面積的取值范圍為. 13分
考點：1.曲線與方程；2.拋物線的幾何性質；3.直線與圓錐曲線的位置關系；4.基本不等式；5.函數的單調性.
課時訓練江蘇人民出版社系列答案
黃岡經典趣味課堂系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
給定橢圓C：
，若橢圓C的一個焦點為F(
，0)，其短軸上的一個端點到F的距離為
．
(I)求橢圓C的方程；
(II)已知斜率為k(k≠0)的直線l與橢圓C交于不同的兩點A，B，點Q滿足
且
=0，其中N為橢圓的下頂點，求直線在y軸上截距的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓
的方程為
，雙曲線
的左、右焦點分別為的左、右頂點，而的左、右頂點分別是的左、右焦點。
（1）求雙曲線的方程；
（2）若直線
與橢圓及雙曲線都恒有兩個不同的交點，且L與的兩個焦點A和B滿足
（其中O為原點），求
的取值范圍。
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓
的中心在原點
,離心率
,右焦點為
.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設橢圓的上頂點為
,在橢圓上是否存在點
,使得向量
與
共線?若存在,求直線
的方程;若不存在,簡要說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知
、
分別是橢圓
的左、右焦點，右焦點
到上頂點的距離為2，若
.
（Ⅰ）求此橢圓的方程；
（Ⅱ）點
是橢圓的右頂點，直線
與橢圓交于
、
兩點（在第一象限內），又
、
是此橢圓上兩點，并且滿足
，求證：向量
與
共線.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓
的焦點為
，
，且經過點
.
（Ⅰ）求橢圓
的方程；
（Ⅱ）設過的直線
與橢圓交于
、
兩點，問在橢圓上是否存在一點
，使四邊形
為平行四邊形，若存在，求出直線的方程，若不存在，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓
過點
，且離心率
。
（Ⅰ）求橢圓
的標準方程；
（Ⅱ）若直線
與橢圓相交于
，
兩點（
不是左右頂點），橢圓的右頂點為D，且滿足
，試判斷直線
是否過定點，若過定點，求出該定點的坐標；若不過定點，請說明理由。
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知一個圓的圓心為坐標原點
，半徑為
.從這個圓上任意一點
向
軸作垂線
，
為垂足.
（Ⅰ）求線段中點
的軌跡方程；
（Ⅱ）已知直線
與
的軌跡相交于
兩點，求
的面積
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時，求k的值.