Question

【題目】如圖，平面，，.

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值；

（Ⅲ）若二面角的余弦值為，求線段的長.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見證明；（Ⅱ）（Ⅲ）

【解析】

首先利用幾何體的特征建立空間直角坐標系

(Ⅰ)利用直線BF的方向向量和平面ADE的法向量的關系即可證明線面平行；

(Ⅱ)分別求得直線CE的方向向量和平面BDE的法向量，然后求解線面角的正弦值即可；

(Ⅲ)首先確定兩個半平面的法向量，然后利用二面角的余弦值計算公式得到關于CF長度的方程，解方程可得CF的長度.

依題意，可以建立以A為原點，分別以的方向為x軸，y軸，z軸正方向的空間直角坐標系(如圖)，

可得.

設，則.

(Ⅰ)依題意，是平面ADE的法向量，

又，可得，

又因為直線平面，所以平面.

(Ⅱ)依題意，，

設為平面BDE的法向量，

則，即，

不妨令z=1，可得，

因此有.

所以，直線與平面所成角的正弦值為.

(Ⅲ)設為平面BDF的法向量，則，即.

不妨令y=1，可得.

由題意，有，解得.

經檢驗，符合題意

所以，線段的長為.