Question

【題目】已知函數.

(1)若,求的單調區間;

(2)若關于的方程有四個不同的解,,,,求實數,應滿足的條件;

(3)在(2)條件下,若,,,成等比數列,求用表示.

Answer 1

【答案】(1)單調遞增區間為,單調遞減區間為;(2);(3)

【解析】

（1）當可得,進而求得單調區間即可；

（2）對求導可得,分別討論和的情況時的單調性,進而求解即可；

（3）在（2）的條件下,可得或,整理可得或,利用韋達定理求解即可

解:(1)當時,

函數,

故的單調遞增區間為,單調遞減區間為；

(2),

則,

當時,當時,,設,則在上單調,且,,因為,所以則,所以的單調遞增區間為；

當時,,設,則在上單調遞減,因為且,所以,所以的單調遞減區間為,不符合題意；

當時, 令,則當時,；當時,；

所以在或上；在或,,

所以在上單調遞減,在上單調遞增,在上單調遞減,在上單調遞增,

又由,

∴方程有四個不同的解,,,時,

,應滿足的條件為:

(3)由（2）,,即或,

即或,

由韋達定理可得,

若,,,成等比數列,則,

由等比中項可得,所以,所以,

,

,

,

解得