Question

【題目】設數列共有項，記該數列前項，，…，中的最大項為，該數列后項，，…，中的最小項為，（1，2，3，…，）.

（1）若數列的通項公式為，求數列的通項公式；

（2）若數列是單調數列，且滿足，，求數列的通項公式；

（3）試構造一個數列，滿足，其中是公差不為零的等差數列，是等比數列，使得對于任意給定的正整數，數列都是單調遞增的，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1），；（2），；（3）見解析.

【解析】

（1）由單調遞增，可得，，即可得到；

（2）由題意可得，即，又因為，2，3，，，所以單調遞增，可得是公差為2的等差數列，進而得到所求通項公式；

（3）構造，其中，，運用新定義即可得證．

解：（1）因為單調遞增，

所以，，

所以，；

（2）根據題意可知，，，

因為，所以，

可得，即，

又因為，2，3，，，所以單調遞增，

則，，所以，即，，

所以是公差為2的等差數列，，；

（3）構造，其中，，

下證數列滿足題意．

證明：因為，所以數列單調遞增，

所以，，

所以，，

因為，

所以數列單調遞增，滿足題意．