Question

【題目】已知橢圓C：（）的焦距為，且右焦點F與短軸的兩個端點組成一個正三角形.若直線l與橢圓C交于、，且在橢圓C上存在點M，使得：（其中O為坐標原點），則稱直線l具有性質H.

（1）求橢圓C的方程；

（2）若直線l垂直于x軸，且具有性質H，求直線l的方程；

（3）求證：在橢圓C上不存在三個不同的點P、Q、R，使得直線、、都具有性質H.

Answer 1

【答案】（1）（2）；（3）證明見解析；

【解析】

(1)根據正三角形中的長度關系列出的關系求解即可.

(2) 設直線,再求得滿足的關系式,進而代入化簡求解即可.

(3)假設存在橢圓C上不存在三個不同的點P、Q、R滿足條件,再將對應的點坐標代入橢圓方程,分情況討論得出矛盾即可.

(1),所以,

又右焦點F與短軸的兩個端點組成一個正三角形,所以,

因為,

解得：,,

所以,橢圓方程為：

(2)設直線,則,

其中滿足：,,

設,

∵（其中O為坐標原點）,

∴,

∵點在橢圓上,

∴,

∴,

∴,

∴直線的方程為或.

(3) 證明：假設在橢圓上存在三個不同的點,

使得直線都具有性質,

∵直線具有性質,

∴在橢圓上存在點M,使得：,

設,則,,

∵點在橢圓上,∴,

又∵,,代入化簡得,①

同理：②, ,③

1)若中至少一個為0,不妨設,則,

由①③得,即為長軸的兩個端點,則②不成立,矛盾。

2)若均不為0,則由①②③得,矛盾。

∵在橢圓C上不存在三個不同的點P、Q、R,使得直線、、都具有性質H.