【題目】如圖，四棱錐
中，底面
為矩形，側面
為正三角形，
，
，平面
平面，
為棱
上一點（不與
、
重合），平面
交棱
于點
.
（1）求證：
；
（2）若二面角
的余弦值為
，求點到平面
的距離.
【答案】（1）證明見解析；（2）
.
【解析】
（1）先根據線面平行判定定理得
平面
，再根據線面平行性質定理得結果；
（2）取
的中點
，根據面面垂直性質定理得
平面
，再根據條件建立空間直角坐標系，設立各點坐標，利用向量數量積解得平面
的一個方向量，再利用向量夾角公式以及二面角與向量夾角關系列方程，解得E點坐標，最后根據向量求點面距，即得結果.
（1）
底面為矩形，
.
又
平面，
平面，
平面.
又
平面
，平面
平面
，
.
（2）取的中點，連接
，過點作
交
于點
.
側面
為正三角形，
.
平面
平面且交線為，
平面，
為矩形，
，
，
如圖所示，建立以
，
，
所在直線為
軸，
軸，
軸的空間直角坐標系
，
，
，
，
.
設
，又
，
.
，
.
設平面的法向量為
，
令
，
，
，
平面的一個法向量
.
又易知
是平面
的一個法向量，
，
解得：
，
，
.
又平面的一個法向量
，
點
到平面的距離為：
.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】把一個均勻的正方體骰子拋擲兩次，觀察出現的點數，記第一次出現的點數為
，第二次出現的點數為
，設直線
：
，直線
：
.
（1）求直線和直線沒有交點的概率；
（2）求直線和直線的交點在第一象限的概率.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設
數列
的前
項和，對任意
，都有
（
為常數）.
（1）當
時，求；
（2）當
時，
（ⅰ）求證：數列是等差數列；
（ⅱ）若數列為遞增數列且
，設
，試問是否存在正整數
（其中
），使
成等比數列？若存在，求出所有滿足條件的數組
；若不存在，說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
，
.
（Ⅰ）令
①當
時，求函數
在點
處的切線方程；
②若
時，
恒成立，求
的所有取值集合與
的關系；
（Ⅱ）記
，是否存在
，使得對任意的實數
，函數
在
上有且僅有兩個零點？若存在，求出滿足條件的最小正整數
，若不存在，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在四棱錐
中，底面ABCD為直角梯形，
，
且
，
平面ABCD.
（1）求PA與平面PCD所成角的正弦值；
（2）棱PD上是否存在一點E，滿足
？若存在，求AE的長；若不存在，說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的離心率為
，橢圓上的點到左焦點的最小值為
.
（1）求橢圓
的方程；
（2）已知直線
與
軸交于點
，過點的直線
與交于
、
兩點，點
為直線上任意一點，設直線與直線
交于點
，記
，
，
的斜率分別為
，
，
，則是否存在實數
，使得
恒成立？若是，請求出的值；若不是，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】2018年9月24日，阿貝爾獎和菲爾茲獎雙料得主、英國著名數學家阿蒂亞爵士宣布自己證明了黎曼猜想，這一事件引起了數學界的震動.在1859年，德國數學家黎曼向科學院提交了題目為《論小于某值的素數個數》的論文并提出了一個命題，也就是著名的黎曼猜想.在此之前，著名數學家歐拉也曾研究過這個問題，并得到小于數字
的素數個數大約可以表示為
的結論.若根據歐拉得出的結論，估計10000以內的素數的個數為（素數即質數，
，計算結果取整數）
A. 1089 B. 1086 C. 434 D. 145
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】隨著城市地鐵建設的持續推進，市民的出行也越來越便利．根據大數據統計，某條地鐵線路運行時，發車時間間隔t（單位：分鐘）滿足：4≤t≤15，
N，平均每趟地鐵的載客人數p(t)（單位：人）與發車時間間隔t近似地滿足下列函數關系：
，其中
.
(1）若平均每趟地鐵的載客人數不超過1500人，試求發車時間間隔t的值．
(2）若平均每趟地鐵每分鐘的凈收益為
（單位：元），問當發車時間間隔t為多少時，平均每趟地鐵每分鐘的凈收益最大？井求出最大凈收益．
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