Question

【題目】設是公差不為零的等差數列，滿足，，設正項數列的前項和為，且．

（1）求數列和的通項公式；

（2）在和之間插入1個數，使、、成等差數列；在和之間插入2個數、，使、、、成等差數列；；在和之間插入個數、、、，使、、、、、成等差數列．

① 求；

② 對于①中的，是否存在正整數、，使得成立？若存在，求出所有的正整數對；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1），；（2）①；②存在符合題意的正整數對，它們為和．

【解析】

（1）求出等差數列的首項和公差即得數列的通項公式，由題得當時，，，相減即得的通項公式；

（2）①，再利用錯位相減法求和得解；②假設存在正整數，使得，化簡得，令，證明時，，列舉得解.

（1）設數列的公差為，則由可得，

再由化簡得：，解得：，∴，

當時，得：；當時，，，

兩式相減得，∴．

（2）①，

，

設，

所以，

上面兩式錯位相減得，

所以

所以，

∴．

②假設存在正整數，使得，

代入化簡得，即，

令，

則由可得：．

當時，，

∴，即，舍去；

當時，，舍去；

當時，，符合題意；

當時，，符合題意；

綜上：存在符合題意的正整數對，它們為和．