Question

【題目】設橢圓：的左、右焦點分別為，，離心率為，過點的直線交橢圓于點、（不與左右頂點重合），連結、，已知周長為8.

（1）求橢圓的方程；

（2）若直線的斜率為1，求的面積；

（3）設，且，求直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）或

【解析】

（1）由橢圓的離心率公式和橢圓的定義，可得，，再由，，的關系可得，進而得到所求橢圓方程；

（2）求得直線的方程，聯立橢圓方程，消去，運用韋達定理，結合的面積為，計算可得所求值；

（3）設直線的方程為，，，聯立橢圓方程，運用韋達定理，由，得出，結合，設，所以，，運用韋達定理可求出，進而得到所求直線方程．

（1）解：由題可知，周長為8，

由橢圓的定義，可知的周長等于，

則，所以，

又，所以，，

因此橢圓的方程為.

（2）解：依題意，直線的方程為，

與橢圓方程聯立，整理得：，

由韋達定理：，，

.

（3）解：設直線的方程為，，，

直線與橢圓方程聯立，

整理得：，

由韋達定理：①，②，

因為，

所以，

即，由，，

得：，

所以，

又，不妨設，所以，，

代入，所以，

所以，整理得，

代入①②，計算得，

所以直線的方程為或.