Question

已知點(diǎn)A（-1，0），B（1，0），P是平面上一動(dòng)點(diǎn)，且滿足|

PB

|•|

AB

|=

PA

•

BA

．
（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)P的軌跡為曲線C，求曲線C的方程；
（Ⅱ）M是曲線C上的動(dòng)點(diǎn)，以線段MB為直徑作圓，證明該圓與y軸相切；
（Ⅲ）已知點(diǎn)Q（m，2）在曲線C上，過點(diǎn)Q引曲線C的兩條動(dòng)弦QD和QE，且QD⊥QE．判斷：直線DE是否過定點(diǎn)？試證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）設(shè)P（x，y），代入|

PB

|•|

AB

|=

PA

•

BA

，能求出曲線C的方程．
（Ⅱ）設(shè)M（x，y），則由拋物線的定義知圓的通徑為x=1，由已知條件推導(dǎo)出圓心坐標(biāo)為（

x+1

2

，

y

2

），由此能證明直線與圓相切．
（Ⅲ）由已知條件分別求出D（

4

k2

-

4

k

+1，

4

k

-2），E（4k²+4k+1，-4k-2），從而得到直線DE的方程為y+2=

k

-k2-k+1

(x-5)，由此求出直線DE過定點(diǎn)（5，-2）．

解答： （Ⅰ）解：設(shè)P（x，y），代入|

PB

|•|

AB

|=

PA

•

BA

，
得

(x-1)2+y2

=1+x，
化簡，得y²=4x．
∴曲線C的方程為y²=4x．（4分）
（Ⅱ）證明：設(shè)M（x，y），則由拋物線的定義知圓的通徑為x=1，
∵圓心為線段MB的中點(diǎn)，且B（1，0），
∴圓心坐標(biāo)為（

x+1

2

，

y

2

），
∴圓心到y(tǒng)軸的距離等于半徑，
∴直線與圓相切．（8分）
（Ⅲ）解：將Q（m，2）代入y²=4x，得m=1，∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1，2），
設(shè)直線QD的方程為y-2=k（x-1），代入y²=4x，得y2-

4

k

y+

8

k

-4=0，
由y₁=2，得y2=

4

k

-2，
∴D（

4

k2

-

4

k

+1，

4

k

-2），
同理可設(shè)QE：y-2=-

1

k

(x-1)，代入y²=4x，得E（4k²+4k+1，-4k-2），
由此直線DE的方程為：y+4k+2=

4 k +4k

4 k2 - 4 k -4k2-4k

（x-4k²-4k-1），
化簡，得（-k²-k+1）y=kx+2k²-3k-2，
即y+2=

k

-k2-k+1

(x-5)，
∴直線DE過定點(diǎn)（5，-2）．（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查曲線方程的求法，考查直線與圓相切的證明，考查直線是否過定點(diǎn)的判斷與證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．