Question

已知拋物線x²=4y，直線l：y=x-2，F是拋物線的焦點．
（Ⅰ）在拋物線上求一點P，使點P到直線l的距離最小；
（Ⅱ）如圖，過點F作直線交拋物線于A、B兩點．
①若直線AB的傾斜角為135°，求弦AB的長度；
②若直線AO、BO分別交直線l于M，N兩點，求|MN|的最小值．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（Ⅰ）求導數，利用P點的切線與直線l平行，即可求出P的坐標；
（Ⅱ）①直線AB的方程為y=-x+1，代入拋物線方程，利用弦長公式，可求弦AB的長度；
②求出M，N的橫坐標，表示出弦長，利用換元、配方法，即可求出|MN|的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）設P（x，y），
∵x²=4y，∴y=

x2

4

，∴y′=

1

2

x，
令

1

2

x=1，則x=2，y=1，
∴P（2，1）到直線l的距離最小；
（Ⅱ）①由題意，直線AB的方程為y=-x+1，代入拋物線方程可得x²+4x-4=0．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=-4，x₁x₂=-4
∴|AB|=

1+1

|x₁-x₂|=8；
②設A(x1，

x12

4

)，B(x2，

x22

4

)，∴kAO=

x1

4

，kBO=

x2

4

，
∴AO的方程是：y=

x1

4

x，
由

y= x1 4 x y=x-2

∴xM=

8

4-x1

，
同理由

y= x2 4 x y=x-2

∴xN=

8

4-x2

…（9分）
∴|MN|=

1+12

|xM-xN|=

2

|

8

4-x1

-

8

4-x2

|=8

2

|

x1-x2

16-4(x1+x2)+x1x2

|①…（10分）
設AB：y=kx+1，由

y=kx+1 x2=4y

∴x2-4kx-4=0，
∴

x1+x2=4k x1x2=-4

且|x1-x2|=

(x1+x2)2-4x1x2

=4

k2+1

，
代入①得到：|MN|=8

2

|

4 k2+1

16-16k-4

|=8

2

k2+1

|4k-3|

=8

2

k2+1 (4k-3)2

，…（12分）
設4k-3=t≠0∴k=

3+t

4

，|MN|=8

2

25+t2+6t 16t2

=2

2

1+ 25 t2 + 6 t

=2

2

( 5 t + 3 5 )2+ 16 25

≥2

2

×

4

5

=

8 2

5

，
∴此時|MN|的最小值是

8 2

5

，此時t=-

25

3

，k=-

4

3

；        …（13分）
綜上：|MN|的最小值是

8 2

5

．                                  …（14分）

點評：本題考查導數知識的運用，考查直線與拋物線的位置關系，考查韋達定理的運用，考查學生的計算能力，難度中等．