Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁A⊥平面ABC，∠BAC=90°，F(xiàn)為棱AA₁上的動(dòng)點(diǎn)，A₁A=4，AB=AC=2．
（1）當(dāng)F為A₁A的中點(diǎn)，求直線BC與平面BFC₁所成角的正弦值；
（2）當(dāng)

AF

FA1

的值為多少時(shí)，二面角B-FC₁-C的大小是45°．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,異面直線及其所成的角

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線BC與平面BFC₁所成角的正弦值．
（2）求出平面BFC₁的一個(gè)法向量，利用向量法能求出當(dāng)

AF

FA1

=

5

3

時(shí)，二面角B-FC₁-C的大小是45°．

解答： 解：（1）如圖，以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，
依題意得A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），
A₁（0，0，4），C₁（0，2，4），∵F為AA₁r 中點(diǎn)，
∴F(0，0，2)，

BF

=(-2，0，2)，

BC1

=(-2，2，4)，

BC

=(-2，2，0)，
設(shè)

n

=(x，y，z)是平面BFC₁的一個(gè)法向量，
則

n • BF =-2x+2z=0 n • BC1 =-2x+2y+4z=0

，得x=-y=z
取x=1，得

n

=(1，-1，1)，
設(shè)直線BC與平面BFC₁的法向量

n

=(1，-1，1)的夾角為θ，
則cosθ=

BC • n

| BC |•| n |

=

-4

2 2 • 3

=-

6

3

，
∴直線BC與平面BFC₁所成角的正弦值為

6

3

．
（2）設(shè)F(0，0，t)(0≤t≤4)，

BF

=(-2，0，t)，

BC1

=(-2，2，4)，
設(shè)

n

=(x，y，z)是平面BFC₁的一個(gè)法向量，
則

n • BF =-2x+tz=0 n • BC1 =-2x+2y+4z=0

，
取z=2，得

n

=(t，t-4，2)

AB

=(2，0，0)是平面FC₁C的一個(gè)法向量，cos＜

n

，

AB

＞=

n • AB

| n |•| AB |

=

2t

2 t2+(t-4)2+4

=

2

2

，
得t=

5

2

，即AF=

5

2

，F(xiàn)A1=

3

2

，
∴當(dāng)

AF

FA1

=

5

3

時(shí)，二面角B-FC₁-C的大小是45°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面所成角的正弦值的求法，考查二面角為45°時(shí)點(diǎn)的位置的確定，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．