Question

【題目】已知函數(a>0且a≠1).

(1)若f(x)為定義域上的增函數,求實數a的取值范圍;

(2)令a=e,設函數,且g(x1)+g(x2)=0,求證:x1+x2≥2+.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】

(1)f'(x)=2x2-3x+,

由f(x)為增函數可得f'(x)≥0恒成立,

則由2x2-3x+≥02x3-3x2≥-,設m(x)=2x3-3x2,則

m'(x)=6x2-6x,由m'(x)=0,得x=1(x=0舍去),故

m(x)在(0,1)上單調遞減,在(1,+∞)上單調遞增,

所以m(x)min=m(1)=-1,所以-1≥-,

當a>1時,易知a≤e,當0<a<1時,則<0,這與1≤矛盾,

從而不能使f'(x)≥0恒成立,所以1<a≤e.

(2)證明:g(x)=x3-x2+ln x-x3-4ln x+6x=-x2-3ln x+6x,因為g(x1)+g(x2)=0,

所以--3ln x1+6x1+=0,

所以-(+)-3ln(x1x2)+6(x1+x2)=0,

即-[(x1+x2)2-2x1x2]-ln(x1x2)+2(x1+x2)=0,

即-(x1+x2)2+x1x2-ln(x1x2)+2(x1+x2)=0,

所以-(x1+x2)2+2(x1+x2)=ln(x1x2)-x1x2.

令x1x2=t,g(t)=ln t-t,則g'(t)=-1=,g(t)在(0,1)上遞增,在(1,+∞)上遞減,

所以g(t)≤g(1)=-1,所以-(x1+x2)2+2(x1+x2)≤-1,整理得(x1+x2)2-4(x1+x2)-2≥0,

解得x1+x2≥2+或x1+x2≤2-(舍去),所以x1+x2≥2+.