Question

【題目】已知函數，（e為自然對數的底數，e≈2.718）．對于任意的(0，e)，在區間(0，e)上總存在兩個不同的，，使得＝＝，則整數a的取值集合是_______．

Answer 1

【答案】

【解析】

根據函數的單調性求出f（x）的值域，求出g（x）的單調性，問題轉化為關于a的不等式組，求出a的范圍即可．

f′（x）=2（﹣x），

令f′（x）＞0，解得：0＜x＜，

令f′（x）＜0，解得：＜x＜e，

故f（x）在（0，）遞增，在（，e）遞減，

而f（0）=0，f（）=2，f（e）=e（2﹣e），

故f（x）在（0，e）的值域是（0，2），

對于g（x）=lnx﹣ax+5，x∈（0，e），

a=0時，g（x）=lnx+5，g（x）遞增，

在區間（0，e）上不存在兩個不同的x1，x2，使得g（x1）=g（x2），

不合題意，

a≠0時，g′（x）=﹣a，令g′（x）=0，解得：x=，

若在區間（0，e）上總存在兩個不同的x1，x2，使得g（x1）=g（x2），

則只需0＜＜e，故a＞，

令g′（x）＞0，解得：0＜x＜，令g′（x）＜0，解得：＜x＜e，

故g（x）在（0，）遞增，在（，e）遞減，

而x→0時，g（x）→﹣∞，g（）=﹣lna+4，g（e）=6﹣ae，

若對于任意的x0∈（0，e），在區間（0，e）上總存在兩個不同的x1，x2，

使得g（x1）=g（x2）=f（x0），

只需，解得：2.2≈≤a≤e2≈7.29，

故滿足條件的a的整數為：3，4，5，6，7，

故答案為：{3，4，5，6，7}．