Question

【題目】已知數(shù)列{an}滿足，且．

(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.

Answer 1

【答案】(1) an＝(2n－1)2n－1;(2) Sn＝(2n－3)2n＋3.

【解析】

（1）根據(jù)等差數(shù)列的定義，判斷數(shù)列是等差數(shù)列，并寫出它的通項(xiàng)公式以及{an}的通項(xiàng)公式；
（2）根據(jù)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和定義，利用錯(cuò)位相減法求出Sn；

(1)證明：因?yàn)?/span>an＝2an－1＋2n，所以＝＝＋1，

即－＝1，所以數(shù)列是等差數(shù)列，且公差d＝1，其首項(xiàng)＝，所以＝＋(n－1)×1＝n－，解得an＝×2n＝(2n－1)2n－1.

(2)Sn＝1×20＋3×21＋5×22＋…＋(2n－1)×2n－1，①

2Sn＝1×21＋3×22＋5×23＋…＋(2n－3)×2n－1＋(2n－1)×2n，②

①－②，得－Sn＝1×20＋2×21＋2×22＋…＋2×2n－1－(2n－1)2n

＝1＋－(2n－1)2n＝(3－2n)2n－3.

所以Sn＝(2n－3)2n＋3.