Question

【題目】已知函數 的最大值是0，函數 ．

（Ⅰ）求實數的值；

（Ⅱ）若當時，不等式恒成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）求出函數的導函數，根據函數的單調性求出f（x）的最大值，得到關于m的方程，進而求出m的值；

（Ⅱ）構造函數F（x）=f（x）-g（x），求出函數的導函數，進而求出的導函數，利用導數與函數單調性的關系，通過討論a的范圍，得到函數的單調區間，結合函數恒成立問題，進而求出a的取值范圍.

（Ⅰ）函數的定義域為

,

因為，所以在上單調遞減.

令，得

當時，單調遞增；

當時，單調遞減；

所以，當時，=

于是，，得 ,

易知，函數在處有唯一零點，所以，．

（Ⅱ）令，

則,

設

則,

①當時，，在上單調遞減，

則時，，在上單調遞減，

故當時，，與已知矛盾.

②當時，

當時，，在上單調遞減，

則時，

故在上單調遞減，

則當時，，與已知矛盾.

③當時，，在上單調遞增，

則時，

所以在上單調遞增，故當時，恒成立．

綜上，實數的取值范圍是．