Question

【題目】已知拋物線：的焦點為，點為上異于頂點的任意一點，過的直線交于另一點，交軸正半軸于點，且有，當點的橫坐標為3時，為正三角形.

（1）求的方程；

（2）若直線，且和相切于點，試問直線是否過定點，若過定點，求出定點坐標；若不過定點，說明理由.

Answer 1

【答案】(1) (2) 直線過定點.

【解析】

（1）設，拋物線的焦點為，由，可得，從而，再由點橫坐標與中點橫坐標相同可求得．

（2）設，可得，由，可設直線的方程為，由它與拋物線相切可求得，也即得出點坐標，求出直線方程，觀察得其過定點．注意分類，即按直線斜率是否存在分類討論．

（1）拋物線的焦點，設，則的中點坐標為，

∵，∴，解得，或（舍），

∵，∴，解得，

∴拋物線方程為.

（2）由（1）知，，設，，

∵，則，由得，即，

∴直線的斜率，∵，故設直線的方程為，

聯立方程組，得，

∵直線與拋物線相切，∴，，

設，則，，

當時，，直線的方程為，

∵，∴直線的方程為，∴直線過定點，

當時，直線方程為，經過定點，

綜上，直線過定點.