Question

【題目】已知圓C經過點，且圓心在直線上，又直線與圓C交于P,Q兩點.

（1）求圓C的方程；

（2）若，求實數的值；

(3)過點作直線，且交圓C于M,N兩點，求四邊形的面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）x 2 +y 2 =4（2）k=0（3）7

【解析】試題分析：（1）設圓心為，半徑為．故，建立方程，從而可求圓的方程；（2）利用向量的數量積公式，求得，計算圓心到直線的距離，即可求解實數的值；（3）方法1、設圓到直線的距離分別為，求得，根據垂徑定理和勾股定理，可得，在利用基本不等式，可求四邊形面積的最大值；方法2、利用弦長公式， ，表示三角形的面積，在利用基本不等式，可求四邊形面積的最大值．

試題解析：（1）設圓心為，半徑為．故，易得，

因此圓的方程為．

（2）因為，且與的夾角為，

故， ，所以到直線的距離，又，所以．

又解：設P， ，則，即，

由得，∴，

代入得，∴；

（3）設圓心到直線的距離分別為，四邊形的面積為．

因為直線都經過點，且，根據勾股定理，有，

又，

故

當且僅當時，等號成立，所以．

（3）又解：由已知，由（2）的又解可得，

同理可得，

∴

，

當且僅當時等號成立，所以．