Question

【題目】已知函數f（x）=x+ +b，其中a，b是常數且a＞0．
（1）用函數單調性的定義證明f（x）在區間（0， ]上是單調遞減函數；
（2）已知函數f（x）在區間[ ，+∞）上是單調遞增函數，且在區間[1，2]上f（x）的最大值為5，最小值為3，求a的值．

Answer 1

【答案】
（1）證法一：∵函數f（x）=x+ +b，其中a，b是常數且a＞0，

任取設0＜x1＜x2≤ ，

則x1﹣x2＜0，0＜x1x2＜a，

f（x1）﹣f（x2）=（x1+ +b）﹣（x2+ +b）=（x1﹣x2）﹣ =（x1﹣x2） ＞0，

即f（x1）＞f（x2），

∴f（x）在區間（0， ]上是單調遞減函數；

證法二：∵函數f（x）=x+ +b，其中a，b是常數且a＞0，

∴f′（x）=1﹣ = ，

當x∈（0， ]時，f′（x）≤0恒成立，

故f（x）在區間（0， ]上是單調遞減函數

（2）已知函數f（x）在區間[ ，+∞）上是單調遞增函數，且在區間[1，2]上f（x）的最大值為5，最小值為3，

當a≤1時，即 ，解得：a=﹣2（舍去）；

當1＜a≤2.25時，即 ，解得：a=0（舍去），或：a=16（舍去）；

當2.25＜a＜4時， ，解得：a=3+2 （舍去），

當a≥4時，即 ，解得：a=6；

綜上可得：a=6

【解析】（1）證法一：任取設0＜x1＜x2≤ ，作差比較可得f（x1）＞f（x2），結合函數單調性的定義，可得：f（x）在區間（0， ]上是單調遞減函數；證法二：求導，分析出當x∈（0， ]時，f′（x）≤0恒成立，故f（x）在區間（0， ]上是單調遞減函數；（2）結合對勾函數的圖象和性質，分析函數f（x）在區間[1，2]上f（x）的最值，可求出滿足條件的a值．
【考點精析】掌握函數單調性的判斷方法和函數的最值及其幾何意義是解答本題的根本，需要知道單調性的判定法：①設x1,x2是所研究區間內任兩個自變量，且x/span>1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大�。虎圩鞑畋容^或作商比較；利用二次函數的性質（配方法）求函數的最大（�。┲担焕�用圖象求函數的最大（�。┲�；利用函數單調性的判斷函數的最大（�。┲担�