Question

【題目】已知函數f（x）=lg （a＞0）為奇函數，函數g（x）= +b（b∈R）．
（Ⅰ）求a；
（Ⅱ）若b＞1，討論方徎g（x）=ln|x|實數根的個數；
（Ⅲ）當x∈[ ， ]時，關于x的不等式f（1﹣x）≤log（x）有解，求b的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由 為奇函數得：f（﹣x）+f（x）=0，

即 ，

所以 ，解得a=1，

（Ⅱ）當b＞1時，設 ，

則h（x）是偶函數且在（0，+∞）上遞減

又

所以h（x）在（0，+∞）上有惟一的零點，方徎g（x）=ln|x|有2個實數根．

（Ⅲ）不等式f（1﹣x）≤log（x）等價于 ，

即 在 有解，

故只需 ，

因為 ，所以 ，

函數 ，

所以 ，

所以b≥﹣13，所以b的取值范圍是[﹣13，+∞）．

【解析】（Ⅰ）由 為奇函數得：f（﹣x）+f（x）=0，即可求a；（Ⅱ）當b＞1時，設 ，則h（x）是偶函數且在（0，+∞）上遞減，即可討論方徎g（x）=ln|x|實數根的個數；（Ⅲ）不等式f（1﹣x）≤log（x）等價于 ，即 在 有解，故只需 ，即可求b的取值范圍．
【考點精析】掌握函數奇偶性的性質是解答本題的根本，需要知道在公共定義域內，偶函數的加減乘除仍為偶函數；奇函數的加減仍為奇函數；奇數個奇函數的乘除認為奇函數；偶數個奇函數的乘除為偶函數；一奇一偶的乘積是奇函數;復合函數的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇．