Question

【題目】已知f（x）=x26x+5． （Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）若x∈[2，6]，求f（x）的值域．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ） f（a）+f（3）=（a26a+5）+（326×3+5）=a26a+1

（Ⅱ）解法一：

因為f（x）=x26x+5=（x3）24

又因為x∈[2，6]，所以1≤x3≤3，所以0≤（x3）2≤9，

得4≤（x3）24≤5．

所以當x∈[2，6]時，f（x）的值域是[4，5]．

解法二：

因為函數f（x）圖象的對稱軸 ，

所以函數f（x）在區間[2，3]是減函數，在區間[3，6]是增函數．

所以x∈[2，6]時， ．

又因為f（2）=226×2+5=3，f（6）=626×6+5=5

所以當x∈[2，6]時f（x）的值域是[4，5]．

【解析】（Ⅰ）利用二次函數的解析式，直接求 的值；（Ⅱ）解法一：利用配方法f（x）=x26x+5=（x3）24，求出x3整體的范圍，然后求解函數的值域即可．

解法二：求出函數f（x）圖象的對稱軸利用函數的單調性求解函數的值域即可．

【考點精析】解答此題的關鍵在于理解二次函數的性質的相關知識，掌握增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．