Question

【題目】在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，∠BAD=60°，PD⊥底面ABCD，點(diǎn)M、N分別是棱AB、CD的中點(diǎn)．
（1）證明：BN⊥平面PCD；
（2）在線段PC上是否存在點(diǎn)H，使得MH與平面PCD所成最大角的正切值為 ，若存在，請(qǐng)求出H點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接BD，

∵四邊形ABCD為菱形，∠BCD=∠BAD=60°

∴△BCD為正三角形，∵N為CD中點(diǎn)，所以BN⊥CD

∵PD⊥平面ABCD，BN平面ABCD，∴PD⊥BN，．

又PD平面PCD，CD平面PCD，CD∩PD=D，∴BN⊥平面PCD

（2）解：假設(shè)線段PC上存在一點(diǎn)H，連接MH，DH，MD，

MBDN為平行四邊形，∴MD∥BN，

由（1）BN⊥平面PCD∴MD⊥平面PCD，∴∠MHD為MH與平面PCD所成的角

在直角三角形MDH中， ，當(dāng)DH最小，即DH⊥PC時(shí)，∠DHM最大，

，

∴

在Rt△DHC中 ，∴

∴線段PC上存在點(diǎn)H，當(dāng) 時(shí)，使MH與平面PCD所成最大角的正切值為

【解析】（1）連接BD，證明：BN⊥CD，PD⊥BN，即可證明BN⊥平面PCD；（2）假設(shè)線段PC上存在一點(diǎn)H，連接MH，DH，MD，可得∠MHD為MH與平面PCD所成的角，在直角三角形MDH中， ，當(dāng)DH最小，即DH⊥PC時(shí)，∠DHM最大，利用條件求出CH，即可得出結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解直線與平面垂直的判定的相關(guān)知識(shí)，掌握一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點(diǎn)：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，以及對(duì)空間角的異面直線所成的角的理解，了解已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點(diǎn)，所成的角為，則．