Question

【題目】已知圓M的圓心在直線x﹣2y+4=0上，且與x軸交于兩點A（﹣5，0），B（1，0）． （Ⅰ）求圓M的方程；
（Ⅱ）求過點C（1，2）的圓M的切線方程；
（Ⅲ）已知D（﹣3，4），點P在圓M上運動，求以AD，AP為一組鄰邊的平行四邊形的另一個頂點Q軌跡方程．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵圓M與x軸交于兩點A（﹣5，0）、B（1，0）， ∴圓心在AB的垂直平分線上，即C在直線x=﹣2上．
由 ，解得 ，即圓心M的坐標為（﹣2，1）．
∴半徑 ，
因此，圓M的方程為（x+2）2+（y﹣1）2=10．
（Ⅱ）∵點C（1，2）滿足（1+2）2+（2﹣1）2=10，
∴點C在圓M上，可得經過點C與圓M相切的直線與CM垂直．
∵CM的斜率kCM= ，∴過點C的切線斜率為k= =﹣3，
由此可得過點C（1，2）的圓M的切線方程為y﹣2=﹣3（x﹣1），化簡得3x+y﹣5=0．
（Ⅲ）設Q（x，y）、P（x0 ， y0），
∵四邊形ADQP為平行四邊形，∴對角線AQ、PD互相平分，即AQ的中點也是PD的中點．
即 ，解得
將P（x﹣2，y﹣4）代入圓M的方程，可得（x﹣2+2）2+（y﹣4﹣1）2=10，即x2+（y﹣5）2=10，
∴頂點Q在圓x2+（y﹣5）2=10上運動，
∵圓x2+（y﹣5）2=10交直線AD于點（﹣1，8）和（﹣3，4），
當Q與這兩個點重合時，不能構成平行四邊形ADQP，
∴頂點Q的軌跡方程為x2+（y﹣5）2=10，（點（﹣1，8）、（﹣3，4）除外）
【解析】（Ⅰ）根據圓的性質，可得圓心M為AB垂直平分線與直線x﹣2y+4=0的交點．因此聯解兩直線的方程，得到圓心M的坐標，由兩點的距離公式算出半徑r= ，即可得到圓M的方程；（Ⅱ）由于點C是圓M上的點，所以過點C的圓M的切線與CM垂直．因此利用直線的斜率公式算出CM的斜率，從而得到切線的斜率k=﹣3，根據直線方程的點斜式列式，化簡即得所求切線的方程；（Ⅲ）設Q（x，y）、P（x0 ， y0），根據平行四邊形ADQP的對角線互相平分，利用線段的中點坐標公式列式，解出P的坐標為（x﹣2，y﹣4），代入圓M的方程化簡可得x2+（y﹣5）2=10．最后根據構成平行四邊形的條件，去除兩個雜點（﹣1，8）、（﹣3，4），即可得到頂點Q的軌跡方程．