Question

【題目】已知函數fk（x）=ax+ka﹣x ， （k∈Z，a＞0且a≠1）． （Ⅰ）若f1（1）=3，求f1（ ）的值；
（Ⅱ）若fk（x）為定義在R上的奇函數，且a＞1，是否存在實數λ，使得fk（cos2x）+fk（2λsinx﹣5）＜0對任意x∈[0， ]恒成立，若存在，請求出實數k的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）若f1（1）=3，

則a+a﹣1=（ ）2﹣2=3，

∴（ ）2=5，

∴ = ，或 =﹣ （舍去），

則f1（ ）= = ，

（Ⅱ）若fk（x）為定義在R上的奇函數，

則fk（0）=a+ka=0，

解得：k=﹣1，

∵a＞1，

∴fk（x）=ax﹣a﹣x在R上為增函數，

則fk（cos2x）+fk（2λsinx﹣5）＜0可化為：fk（cos2x）＜﹣fk（2λsinx﹣5）=fk（5﹣2λsinx），

即cos2x＜5﹣2λsinx對任意x∈[0， ]恒成立，

即λ＜ = =sinx+ 對任意x∈[0， ]恒成立，

令t=sinx，（t∈[0，1]），

則y=t+ 為減函數，當t=1時，y取最小值3，

故λ＜3．

【解析】（Ⅰ）若f1（1）=3，則a+a﹣1=3，結合a+a﹣1=（ ）2﹣2可得答案；（Ⅱ）若fk（x）為定義在R上的奇函數，且a＞1，則k=﹣1，fk（x）=ax﹣a﹣x在R上為增函數，故問題可轉化為：λ＜ = =sinx+ 對任意x∈[0， ]恒成立，結合對勾函數的圖象和性質，可得答案．
【考點精析】本題主要考查了函數奇偶性的性質和函數的值的相關知識點，需要掌握在公共定義域內，偶函數的加減乘除仍為偶函數；奇函數的加減仍為奇函數；奇數個奇函數的乘除認為奇函數；偶數個奇函數的乘除為偶函數；一奇一偶的乘積是奇函數;復合函數的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇；函數值的求法：①配方法(二次或四次)；②“判別式法”；③反函數法；④換元法；⑤不等式法；⑥函數的單調性法才能正確解答此題．