Question

【題目】已知集合M是由滿足下列性質的函數f（x）的全體所組成的集合：在定義域內存在x0 ， 使得f（x0+1）=f（x0）+f（1）成立．
（1）指出函數f（x）= 是否屬于M，并說明理由；
（2）設函數f（x）=lg 屬于M，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：若f（x）= 屬于M，則存在x0∈（∞，0）∪（0，+∞），使得 = +1，

則x02+x0+1=0，因為方程x02+x0+1=0無解，所以f（x）= 不屬于M

（2）解：由f（x）=lg 屬于M知，有lg =lg +lg 有解，

即（a2）x2+2ax+2（a1）=0有解；

當a=2時，x= ；

當a≠2時，由△≥0，得a26a+4≤0，得a∈[3 ，2]∪（2，3+ ]，

又因為對數的真數大于0，

所以a＞0

所以a∈[3 ，，3+ ]

【解析】（1）假設f（x）屬于M，則f（x）具有M的性質，列出方程解方程無解，則得到f（x）不屬于M．（2）f（x）屬于M，則f（x）具有M的性質，列出方程有解則△≥0，求出a的范圍．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用元素與集合關系的判斷的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握對象與集合的關系是，或者，兩者必居其一．