Question

【題目】如圖，在三棱柱中，，側面是邊長為2的正方形，點、分別是線段，的中點，且.

（1）證明：平面平面；

（2）若，求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）取中點，連接，由正方形性質及條件，可證明平面，從而可得，進而證明平面，即可由面面垂直的判定定理證明平面平面；

（2）結合（1）及線面垂直關系，可得.以為坐標原點，分別為軸正方向建立空間直角坐標系，寫出各個點的坐標，并求得平面的法向量，即可由線面夾角的向量求法求得直線與平面所成角的正弦值.

（1）證明：取中點，連接，如下圖所示：

三棱柱中，， 為中點，

則，

是為正方形，點、分別是線段，的中點，為中點，

所以，

又因為，且，

所以平面，

又因為平面，

所以，

且，與相交，則平面，

又因為平面，

所以平面平面.

（2）因為，平面平面，平面平面.

所以平面，

則.

又因為，，

所以平面，則.

所以.

又平面，，

所以平面，

從而.

以為坐標原點，分別為軸正方向，建立如下圖所示的空間直角坐標系：

則，.

所以.

設平面的法向量為.

則，即，令，解得，

則，

設直線與平面所成的角為，

由直線與平面夾角的求法可得.