Question

【題目】如圖，四棱錐E﹣ABCD的側棱DE與四棱錐F﹣ABCD的側棱BF都與底面ABCD垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB＝3，AD＝4，AE＝5，．

（1）證明：DF∥平面BCE．

（2）求A到平面BEDF的距離，并求四棱錐A﹣BEDF的體積．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）12

【解析】

（1）由DE⊥平面ABCD推出DE⊥AD，勾股定理求出DE，同理由BF⊥平面ABCD求出BF，利用線面垂直的性質推出DE∥BF，結合推出，即可證明線面平行；（2）等體積法列出，即可求得A到平面BEDF的距離，四棱錐A﹣BEDF的體積V，代入相應值求解即可.

（1）證明：∵DE⊥平面ABCD，∴DE⊥AD，

∵AD＝4，AE＝5，∴DE3，

∵BF⊥平面ABCD，∴BF⊥AB，

∵AB＝3，AF，可得BF3，

又DE⊥平面ABCD，BF⊥平面ABCD，∴DE∥BF，

又BF＝DE，∴四邊形BEDF為平行四邊形，故DF∥BE，

∵BE平面BCE，DF平面BCE，

∴DF∥平面BCE；

（2）設A到平面BEDF的距離為h，

由已知可得，△DAB是以∠DAB為直角的直角三角形，且AB＝3，AD＝4，

則BD＝5，又DE⊥平面ABCD，且DE＝3，

由VE﹣ADB＝VA﹣BDE，得，

得h，即A到平面BEDF的距離為；

四棱錐A﹣BEDF的體積V12．