Question

【題目】（本小題滿分14分）已知函數f（x）＝－2lnx＋x2－2ax＋a2，其中a>0.

（Ⅰ）設g（x）為f（x）的導函數，討論g（x）的單調性；

（Ⅱ）證明：存在a∈（0，1），使得f（x）≥0恒成立，且f（x）＝0在區間（1，＋∞）內有唯一解.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）當x∈（0，1）時，g'（x）＜0，g（x）單調遞減

當x∈（1，＋∞）時，g'（x）＞0，g（x）單調遞增

（Ⅱ）見解析

【解析】（Ⅰ）由已知，函數f（x）的定義域為（0，＋∞）

g（x）＝f '（x）＝2（x－1－lnx－a）

所以g'（x）＝2－

當x∈（0，1）時，g'（x）＜0，g（x）單調遞減

當x∈（1，＋∞）時，g'（x）＞0，g（x）單調遞增

（Ⅱ）由f '（x）＝2（x－1－lnx－a）＝0，解得a＝x－1－lnx

令Φ（x）＝－2xlnx＋x2－2x（x－1－lnx）＋（x－1－lnx）2＝（1＋lnx）2－2xlnx

則Φ（1）＝1＞0，Φ（e）＝2（2－e）＜0

于是存在x0∈（1，e），使得Φ（x0）＝0

令a0＝x0－1－lnx0＝u（x0），其中u（x）＝x－1－lnx（x≥1）

由u'（x）＝1－≥0知，函數u（x）在區間（1，＋∞）上單調遞增

故0＝u（1）＜a0＝u（x0）＜u（e）＝e－2＜1

即a0∈（0，1）

當a＝a0時，有f '（x0）＝0，f（x0）＝Φ（x0）＝0

再由（Ⅰ）知，f '（x）在區間（1，＋∞）上單調遞增

當x∈（1，x0）時，f '（x）＜0，從而f（x）＞f（x0）＝0

當x∈（x0，＋∞）時，f '（x）＞0，從而f（x）＞f（x0）＝0

又當x∈（0，1]時，f（x）＝（x－a0）2－2xlnx＞0

故x∈（0，＋∞）時，f（x）≥0

綜上所述，存在a∈（0，1），使得f（x）≥0恒成立，且f（x）＝0在區間（1，＋∞）內有唯一解.