Question

【題目】已知橢圓C：（）的一個焦點與拋物線的焦點相同，，為橢圓的左、右焦點，M為橢圓上任意一點，若的面積最大值為1.

（1）求橢圓C的方程；

（2）設不過原點的直線l：與橢圓C交于不同的兩點A、B，若直線l的斜率是直線、斜率的等比中項，求面積的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）由拋物線焦點坐標及的面積最大值可求出、，即可求出橢圓的方程；

（2）聯立直線與橢圓方程，設出交點坐標，再利用斜率公式可得，再結合點到直線的距離公式求解即可.

解：（1）由拋物線的方程為得其焦點坐標為，

所以可得橢圓中.

當M點位于橢圓的短軸頂點時，的面積最大，

此時，所以.

又由得，

所以橢圓C的方程為，

（2）由消去y得，

，即（*）.

設，，則，.

∵直線l的斜率是直線、斜率的等比中項，，

，，，

，，，代入（*）式得.

又，，且，

，

設點O到直線的距離為d，則，

，

且，，

故面積的取值范圍為.