Question

【題目】已知函數f（x）=x|2a﹣x|+2x，a∈R．
（1）若a=0，判斷函數y=f（x）的奇偶性，并加以證明；
（2）若函數f（x）在R上是增函數，求實數a的取值范圍；
（3）若存在實數a∈[﹣2，2]，使得關于x的方程f（x）﹣tf（2a）=0有三個不相等的實數根，求實數t的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數y=f（x）為奇函數．

理由：當a=0時，f（x）=x|x|+2x，

f（﹣x）=﹣x|x|﹣2x=﹣f（x），

∴函數y=f（x）為奇函數

（2）解：f（x）= ，

當x≥2a時，f（x）的對稱軸為：x=a﹣1；

當x＜2a時，y=f（x）的對稱軸為：x=a+1；

∴當a﹣1≤2a≤a+1時，f（x）在R上是增函數，

即﹣1≤a≤1時，函數f（x）在R上是增函數

（3）解：方程f（x）﹣tf（2a）=0的解即為方程f（x）=tf（2a）的解．

①當﹣1≤a≤1時，函數f（x）在R上是增函數，

∴關于x的方程f（x）=tf（2a）不可能有三個不相等的實數根；

②當a＞1時，即2a＞a+1＞a﹣1，

∴f（x）在（﹣∞，a+1）上單調增，

在（a+1，2a）上單調減，在（2a，+∞）上單調增，

∴當f（2a）＜tf（2a）＜f（a+1）時，

關于x的方程f（x）=tf（2a）有三個不相等的實數根；

即4a＜t4a＜（a+1）2，

∵a＞1，

∴1＜t＜ （a+ +2）．

設h（a）= （a+ +2），

∵存在a∈[﹣2，2]，

使得關于x的方程f（x）=tf（2a）有三個不相等的實數根，

∴1＜t＜h（a）max，

又可證h（a）= （a+ +2）在（1，2]上單調增，

∴＜h（a）max= ，

∴1＜t＜ ，

③當a＜﹣1時，即2a＜a﹣1＜a+1，

∴f（x）在（﹣∞，2a）上單調增，

在（2a，a﹣1）上單調減，在（a﹣1，+∞）上單調增，

∴當f（a﹣1）＜tf（2a）＜f（2a）時，

關于x的方程f（x）=tf（2a）有三個不相等的實數根；

即﹣（a﹣1）2＜t4a＜4a，

∵a＜﹣1，

∴1＜t＜﹣ （a+ ﹣2），

設g（a）=﹣ （a+ ﹣2），

∵存在a∈[﹣2，2]，使得關于x的方程f（x）=tf（2a）有三個不相等的實數根，

∴1＜t＜g（a）max，

又可證g（a）=﹣ （a+ ﹣2）在[﹣2，﹣1）上單調減，

∴g（a）max= ，

∴1＜t＜ ；

綜上：1＜t＜ ．

【解析】（1）若a=0，根據函數奇偶性的定義即可判斷函數y=f（x）的奇偶性；（2）根據函數單調性的定義和性質，利用二次函數的性質即可求實數a的取值范圍；（3）根據方程有三個不同的實數根，建立條件關系即可得到結論．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解奇偶性與單調性的綜合的相關知識，掌握奇函數在關于原點對稱的區間上有相同的單調性；偶函數在關于原點對稱的區間上有相反的單調性．