Question

若x⁵+3x³+1=a₀+a₁（x-1）+a₂（x-1）²+…+a₅（x-1）⁵對任意實數x都成立，則a₃的值是（　　）

• A、13
• B、10
• C、3
• D、1

Answer 1

考點：二項式系數的性質

專題：二項式定理

分析：根據x⁵+3x³+1=[1+（x-1）]⁵+3[1+（x-1）]³+1，按照二項式定理展開，和所給的等式作對比，求得a₃的值．

解答： 解：∵x⁵+3x³+1=[1+（x-1）]⁵+3[1+（x-1）]³+1=
5+（

C

1 5

+3

C

1 3

）•（x-1）+（

C

2 5

+3

C

2 3

）•（x-1）²+（

C

3 5

+3

C

3 3

）•（x-1）³+

C

4 5

•（x-1）⁴+

C

5 5

•（x-1）⁵，
x⁵+3x³+1=a₀+a₁（x-1）+a₂（x-1）²+…+a₅（x-1）⁵對任意實數x都成立，
則a₃=

C

3 5

+3

C

3 3

=13，
故選：A．

點評：本題主要考查二項式定理的應用，二項展開式的通項公式，求展開式中某項的系數，二項式系數的性質，屬于中檔題．