Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦點F₁與拋物線y²=4x的焦點重合，原點到過點A（a，0），B（0，-b）的直線的距離是

2

7

21

．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設動直線l：y=kx+m與橢圓C有且只有一個公共點P，過F₁作PF₁的垂直于直線l交于點Q，求證：點Q在定直線上，并求出定直線的方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已恬條件得a²=b²+1，

ab

a2+b2

=

2

7

21

，由此能求出橢圓C的方程．
（2）由

y=kx+m x2 4 + y2 3 =1

，得（4k²+3）x²+8kmx+4m²-12=0，由直線與橢圓相切，得4k²-m²+3=0，由此能證明點Q在定直線x=4上．

解答： （1）解：由于拋物線的y²=4x的焦點坐標為（1，0），∴c=1，
∴a²=b²+1，
∵頂點到直線AB：

x

a

-

y

b

=1的距離d=

ab

a2+b2

=

2

7

21

，
∴a²=4，b²=3，
∴橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）證明：由

y=kx+m x2 4 + y2 3 =1

，得（4k²+3）x²+8kmx+4m²-12=0（*）
由直線與橢圓相切得m≠0，且△=64k²m²-4（4k²+3）（4m²-12）=0，
整理，得4k²-m²+3=0，
將4k²+3=m²，m²-3=4k²代入（*）式得
m²x²+8kmx+16k²=0，即（mx+4k）²=0，解得x=-

4k

m

，
∴P（-

4k

m

，

3

m

），又F₁（1，0），∴kPF1=

3 m

- 4k m -1

=-

3

4k+m

，
∴kF1Q=

4k+m

3

，∴直線F₁Q的方程為：y=

4k+m

3

(x-1)，
聯立

y=kx+m y= 4k+m 3 (x-1)

，得x=4，
∴點Q在定直線x=4上．

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查點在定直線上的證明，解題時要認真審題，注意函數與方程思想的合理運用．