Question

已知四棱錐S-ABCD，底面為正方形，SA⊥底面ABCD，AB=AS=a，
M，N分別為AB，AS中點．
（1）求證：BC⊥平面SAB；
（2）求證：MN∥平面SAD；
（3）求四棱錐S-ABCD的表面積．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的判定,棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面平行的判定

專題：綜合題,空間位置關系與距離

分析：（1）證明SA⊥BC，BC⊥AB，SA∩AB=A，即可證明BC⊥平面SAB；
（2）取SD中點P，利用三角形的中位線的性質證得AMNP是平行四邊形，可得MN∥AP．再根據直線和平面平行的判定的定理證得MN∥平面SAD．
（3）由條件可得△SAB≌△SAD，△SBC≌△SCD，再根據S_表面積=2S_△SAB+2S_△SBC+S_ABCD 運算求得結果．

解答： （1）證明：∵SA⊥底面ABCD，∴SA⊥AB，SA⊥AD，SA⊥BC，
又∵BC⊥AB，SA∩AB=A，
∴BC⊥平面SAB；
（2）證明：取SD中點P，連接MN、NP、PA，
則NP=

1

2

CD，且NP∥CD，
又∵AM=

1

2

CD，且AM∥CD，
∴NP=AM，NP∥AM，
∴AMNP是平行四邊形，
∴MN∥AP，
∵AP?平面SAD，MN?平面SAD
∴MN∥平面SAD；
（3）解：∵BC⊥平面SAB，
∴BC⊥SB，
同理，CD⊥SD，
∴△SAB≌△SAD，△SBC≌△SCD，
又∵SB=

2

a，
∴S_表面積=2S_△SAB+2S_△SBC+S_ABCD
=2×

1

2

a2+2×

1

2

a•

2

a+a2=(2+

2

)a2．

點評：本題主要考查直線和平面平行、垂直的判定的定理的應用，求多面體的表面積，屬于中檔題．