【題目】已知函數
．
（1）若函數
有兩個極值點
，求實數a的取值范圍；
（2）若
對任意
都恒成立，求證：a的最大值大于8．
【答案】（1）
；（2）證明見詳解.
【解析】
（1）將問題轉化為
有兩個不同的實數根，分離參數，構造新的函數，利用導數研究函數單調性和值域，從而求參數范圍；
（2）將恒成立問題，經過分離參數后，轉化為函數最值的問題，從而進行證明.
（1）由
可得
，
函數
有兩個極值點等價于有兩個不同的實數根，
也等價于
有兩個不同的實數根（
顯然不是根）
令
，則
，
在
單減，
上單減，
上單增；
且
時，
，
時，
，
有兩解，需
，即，
下證是
有兩解的必要條件：
當時，
，
，
，
在上有且只有一個解，
又因為
，.
在上有且只有一個解，
綜上所述：；
（2）因為
等價于：
等價于
對
恒成立，
①當
或1時，
滿足；
②當
時，
顯然大于0，
故恒成立，
等價于
恒成立，
等價于
恒成立.
而欲證
即證
即可.
就是證：
也就是證明：
，對任意的恒成立.
先證：
，
．
令
，．
因為
，
所以
在上單調遞增，
則有
，
，．
所以，要證，，
需證
，，
即證
恒成立
也就是證：
恒成立
而
顯然成立，
故恒成立
即恒成立
，對任意的恒成立.
成立
故成立，即證.
名校課堂系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數f（x）＝ln（x2+1）﹣e﹣|x|（e為自然對數的底數），則不等式f（2x+1）＞f（x）的解集是（ ）
A. （﹣1，1）B. （﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
C. 
D. 
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知
的定義域為
，
，使得不等式
成立，關于
的不等式
的解集記為
.
（1）若
為真，求實數
的取值集合
；
（2）在（1）的條件下，若
是
的充分不必要條件，求實數
的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的左、右頂點為
，
，橢圓上任意一點
，滿足
，且橢圓過點
.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）設
是軌跡
上的兩個動點，線段
的中點
在直線
（為參數）上，線段的中垂線與交于
兩點，是否存在點，使以
為直徑的圓經過點
，若存在，求出點坐標，若不存在，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在直角坐標系
中，直線
的參數方程為
（
為參數），以坐標原點為極點，
軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線
的極坐標方程為
.
（1）寫出直線的直角坐標方程；
（2）設點
的坐標為
，若點是曲線截直線所得線段的中點，求的斜率.
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【題目】在直角坐標系
中，直線
的參數方程為
（
為參數），以坐標原點為極點，
軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線
的極坐標方程為
.
（1）寫出直線的直角坐標方程；
（2）設點
的坐標為
，若點是曲線截直線所得線段的中點，求的斜率.
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【題目】某種產品的質量以其質量指標值衡量，并依據質量指標值劃分等級如表：
質量指標值m | 25≤m＜35 | 15≤m＜25或35≤m＜45 | 0＜m＜15或45≤m≤65 |
等級 | 一等品 | 二等品 | 三等品 |
某企業從生產的這種產品中抽取100件產品作為樣本，檢測其質量指標值，得到如圖所示的頻率分布直方圖．（同一組數據用該區間的中點值作代表）：
（1）根據以上抽樣調查數據，能否認為該企業生產的這種產品符合“一、二等品至少要占全部產品82%”的規定？
（2）該企業為提高產品質量，開展了“質量提升月”活動，活動后再抽樣檢測，產品質量指標值X近似滿足X～N（31，122），則“質量提升月”活動后的質量指標值的均值比活動前大約提升或降低多少？
（3）若企業每件一等品售價180元，每件二等品售價150元，每件三等品售價120元，以樣本中的頻率代替相應概率，現有一名顧客隨機購買兩件產品，設其支付的費用為X（單位：元），求X的分布列及數學期望．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】下列有關命題的說法正確的是（ ）
A.命題“若
⊥
，則
0”的否命題為“若⊥，則
0”
B.命題“函數f（x）＝（a﹣1）x是R上的增函數”的否定是“函數f（x）＝（a﹣1）x是R上的減函數”
C.命題“在△ABC中，若sinA＝sinB，則A＝B”的逆否命題為真命題
D.命題“若x＝2，則x2﹣3x+2＝0”的逆命題為真命題
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某公司為了變廢為寶，節約資源，新上了一個從生活垃圾中提煉生物柴油的項目．經測算該項目月處理成本
（元）與月處理量
（噸）之間的函數關系可以近似地表示為：
，且每處理一噸生活垃圾，可得到能利用的生物柴油價值為200元，若該項目不獲利，政府將給予補貼．
（1）當
時，判斷該項目能否獲利？如果獲利，求出最大利潤；如果不獲利，則政府每月至少需要補貼多少元才能使該項目不虧損？
（2）該項目每月處理量為多少噸時，才能使每噸的平均處理成本最低？
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