Question

【題目】已知橢圓的左、右頂點為，，橢圓上任意一點，滿足，且橢圓過點.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）設是軌跡上的兩個動點，線段的中點在直線 （為參數）上，線段的中垂線與交于兩點，是否存在點，使以為直徑的圓經過點，若存在，求出點坐標，若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1) (2) 存在點符合條件，坐標為.

【解析】

（1）設，，，根據題意列出方程，聯立求解即可；

（2）直線參數方程轉換為普通方程，當直線垂直于軸時，三點共線不符合題意；當直線不垂直與軸時，設存在點，直線的斜率為，，，，，根據題意利用圓的性質和垂直向量點積為0，列出方程求解可得答案.

解：（1）設，，，則 ，

,

橢圓過點， ②

聯立①②解得：

所求橢圓方程為：

（2）將直線的參數方程： （為參數）化為普通方程，

當直線垂直于軸時，直線方程為：，

此時 ，與點三點共線，不合題意；

當直線不垂直與軸時，設存在點，直線的斜率為，，，，

由 得：，則 ，故

此時，直線斜率為，的直線方程為，即

聯立，整理得：

所以，

由題意，于是

，因為在橢圓內，，符合題意；

綜上，存在點符合條件，坐標為.